Manipuler l'expression de la force d'interaction gravitationnelle - Corrigé

Depuis 1967, le programme Météosat, lancé par le CNES, a pour but de collecter des données météorologiques sur tout le globe et de les diffuser à leurs utilisateurs. Il exploite plusieurs satellites placés en orbite géostationnaire : ils restent en permanence à la verticale du même point de la surface de la Terre. Le premier satellite, Meteosat 1, a été lancé le 23 novembre 1977 ; la mission est à présent assurée par des satellites de nouvelle génération.

Données :

•  la constante de gravitation universelle : 
  
• la masse de la Terre : 
  
• la masse du satellite : 
  
• le rayon de la Terre :
  
• valeur de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite :
  

1. Faire un schéma, sans souci d'échelle, montrant le satellite Meteosat 1 en orbite géostationnaire autour de la Terre. On assimilera le satellite à un point matériel S.

2. En appliquant la loi de la gravitation universelle, donner l'expression littérale de la distance   séparant le centre de la Terre du satellite en fonction de leurs masses  et , et de .

(Au besoin, consulter ces conseils pour savoir comment transformer une expression littérale.)

3. Calculer la distance séparant le centre de la Terre du satellite grâce aux données fournies.

4. En déduire l'altitude  du satellite, et donc de l'orbite géostationnaire autour de la Terre.

Corrigé :

1. Schéma de la situation étudiée :

2. D'après la loi de la gravitation universelle :

On multiplie chaque membre de l'égalité par  :

soit : 

On divise chaque membre de l'égalité par  :

soit :  

et donc : 

3. 

4.  donc  

D'où : 

L'orbite géostationnaire se trouve donc à une altitude de 35 800 km environ.